a) Estarà mirant en la mateixa direcció que al principi.

b) Dos girs

Per tal de resoldre l'apartat a), anem a fer unes marques nuremades en la circumferència de cada moneda, a intervals regulars:

Com podeu observar, al principi ambdues monedes comencen amb les marques amb el número 1 alineades. A mesura que la moneda A avance, sempre que no rellisque, coincidiran les dues marques amb el número 2, les dues que tenen el número 3, etc.

Per tant, quan la moneda A es trobe al costat oposat, les dues marques amb el número 5 coincidiran. És a dir, la posició relativa de les dues monedes serà distinta a la del principi, però així i tot fent el dibuix podreu comprovar que l'orientació de la moneda A és la mateixa que al principi.

És a dir, mentre que la moneda A ha pegat mitja volta al voltant de la B, ha pegat una volta sencera respecte a sí mateixa. Per tant, quan complete l'altra mitja volta es repetirà el procés i pegarà una altra volta. Açò fa un total de dos voltes al voltant del seu propi centre, arribat de nou a la posició inicial.

16 tubs

La clau d'aquest problema és que el cabal d'aigua que passa pel tub no és proporcional al seu diàmetre, sinó a la seua secció. És a dir, a l'àrea del cercle que obtenim si "tallem" el tub de manera perpendicular a la seua longitud. En el cas del tub de 16 cm de diàmetre, aquesta àrea és:

\( \pi \cdot 8^2 = 64 \pi \; cm^2 \)

Mentre que la del tub de 4 cm és:

\( \pi \cdot 2^2 = 4 \pi \; cm^2\)

Per tant, si dividim ambdues àrees:

\( \frac{64\pi}{4\pi}=16 \)

És a dir, necessitarem 16 tubs de 4 cm de diàmetre per a portar la mateixa aigua que 1 de 16 cm.

El majordom mentia.

Com que les monedes estaven colocades originalment formant un quadrat, sabem que la quantitat de monedes que hi havia era un quadrat perfecte: 1, 4, 9, 16, 25...

Ara bé, segons el majordom, tres lladres se les van repartir i van sobrar dos. Açò és impossible. Vegem per què.

Tots els nombres naturals es poden classificar en tres grups, depenent del residu que obtenim quan els dividim entre 3. Vegem com es comporten els nombres de cadascun d'aquestos tres grups quan els elevem al quadrat.

En primer lloc, tenim els nombres que donen residu 0 quan els dividim entre 3, és a dir, els múltiples de 3. Tots els múltiples de 3 es poden escriure com 3 multiplicat per un altre número, anomenem-lo \( k \). Si elevem al quadrat:

\( (3k)^2=9k^2= 3 \cdot 3k^2 \)

Observem que el resultat també és un múltiple de 3.

En segon lloc, tenim els nombres que donen residu 1 quan els dividim entre 3. Tots els nombres d'aquesta categoria es poden escriure com 3 multiplicat per un altre número, anomenem-lo \( k \), més 1. Si elevem al quadrat:

\( (3k+1)^2=9k^2+6k+1=3\cdot (3k^2+2k) +1 \)

Observem que el resultat també és un múltiple de 3 més 1.

Finalment, tenim els nombres que donen residu 2 quan els dividim entre 3. Tots els nombres d'aquesta categoria es poden escriure com 3 multiplicat per un altre número, anomenem-lo \( k \), més 2. Si elevem al quadrat:

\( (3k+2)^2=9k^2+12k+4=3\cdot (3k^2+4k+1) +1 \)

És a dir, el resultat és un múltiple de 3 més 1.

En conclusió, quan calculem quadrats perfectes en ningun dels tres casos obtenim un nombre que done 2 com a residu en dividir-lo per 3. Per tant, la història del majordom és clarament falsa.

35,2 m².

L'àrea del camp quadrat és de \( 8\cdot 8=64 \; m^2\)

Com que sabem que E és el punt mig del costat AD, sabem que AE mesura 4 cm i l'àrea del triangle ABE serà \( \frac{4\cdot 8}{2}=16 \; m^2 \).

El triangle BCF, per la seua banda, ésproporcional a l'anterior, donat que també és rectangle (per ser CF perpendicular a BD) i té un angle en comú (ja que és l'àngle complementari a \(\widehat{ABE}\) i \(\widehat{AEB}\) també ho és). Per calcular la raó de semblança compararem les hipotenuses. La de BCF val 8, per ser un costat del quadrat. La de ABE, pel Teorema de Pitàgores, val:

\( h=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80} \)

La raó de semblança és \( \frac{\sqrt{80}}{8} \). Però recordem que la raó entre les àrees és el quadrat d'aquesta. Per tant, l'àrea de BCF és:

\( 16 : \frac{80}{64}=12,8 \; m^2 \)

Restant l'àrea dels dos triangles de l'àrea del quadrat, obtenim l'àrea demanada:

\( 64-16-12,8=35,2 \; m^2\)