a) 1-6-2 // 2-4-3 // 3-5-1

b) 1-6-3 // 3-2-5// 5-4-1

c) 2-5-4 // 4-1-6 // 6-2-3

d) 4-3-5 // 5-1-6 // 6-2-4

Anomenem S al resultat de la suma de cada costat i v₁, v₂, i v₃ els valors dels vertexs.

La suma dels tres costats és:

\( 3S=1+2+3+4+5+6+v_1+v_2+v_3=21+v_1+v_2+v_3 \)

i d'ací sabem que:

\( S=7+\frac{v_1+v_2+v_3}{3} \)

Com S és un nombre natural, la suma dels vèrtexs ha de ser múltiple de 3.

Escriurem totes les combinacions de tres nombres de l'1 al 6 que sumats siguen múltiples de 3 i al costat el valor de S que li correspondrà:

1+2+3=6        S=9

1+2+6=9        S=10

1+3+5=9        S=10

1+5+6=12      S=11

2+4+6=12      S=11

3+4+5=12      S=11

4+5+6 =15     S=12

Provem les combinacions anteriors, no totes són viables:

Queden encara 50 ml de maduixa.

La primera vegada que beu, beu un quarta part. Per tant, beu 50 ml i deixa 150 ml al got.

La segona vegada, beu la tercera part, que és la tercera part del suc de maduixa i la tercera del suc de plàtan que queda al got, per tant beu 50 ml de maduixa i deixa 100 ml.

L'úlima vegada, beu la meitat, és a dir, 50 ml de suc de maduixa. Per tant, al got queden 50 ml.

El nombre és 4698.

Analitzem les afirmacions poc a poc:

b) 3678 només té dos dígits del nombre i estan en la posició correcta.

e) 7598 només té dos dígits del nombre i estan en la posició correcta.

D’aquestes afirmacions podem deduir que el 7 no és un dígit, perquè no pot estar en la posició correcta en dos llocs diferents i els nombres són diferents.

Si suposem que els que estan en la posició correcta són el 5 i el 9, de l'afirmació e) deduïríem que els de la posició correcta de la afirmació b) són el 3 i el 8. Això ens du a una contradicció amb l’afirmació e) i el 8.

Per tant, si el nostre raonament és correcte, el que falla és la suposició que hem fet que el 5 i 9 són els que estan en la posició correcta.

Aixó ens duu a poder afirmar que el 8 és uns dels dígits que estan en la posició correcta tant en l’afirmació b) com en la e)

Analitzem les altres afirmacions:

c) 1254 només té un dígit del nombre però no està en la posició correcta.

d) 1945 només té dos dígits del nombre però no estan en la posició correcta.

Si una xifra del nombre és el 2, les xifres 1, 5 i 4 no hi són. Per tant, arriben a altra contradicció amb l’afirmació d) ja que només tindria un dígit del nombre.

Conclusió: el 2 no hi és i el 9 sí.

a) La suma dels seus dígits és 27.

Com 8+9=17, els altres dos números han de sumar 10 i no podem utilitzar ni el 2 ni el 7.

Les posibilitats són:

1 + 9 = 10. Imposible, el 9 no pot estar repetit.

2 + 8 = 10. Tampoc és factible, utilitza el 2 i el 8 estaria repetit.

3 + 7 =10. Tampoc, per utilitzar el 7.

4 + 6 = 10. Única opció possible.

Ja sabem que els nombre són 4, 6, 8 i 9, encara que no necessàriament en eixe ordre.

b) 3678 només té dos dígits del nombre i estan en la posició correcta.

e) 7598 només té dos dígits del nombre i estan en la posició correcta.

Recorrerà aproximadament 3 metres.

Caldrà fer aquesta suma fins l’infinit:

\( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\dots=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots \)

on la segona expressió ix de sumar cada parella de dues fraccions iguals.

El problema es redueix a calcular la suma d’una progressió geomètrica de raó \( \frac{1}{2} \). Podem aplicar la fòrmula:

\( 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots = 1+1+\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3\)

Però si no coneixeu o no heu buscat com es calcula la suma d’una progressió geomètrica, no patiu, ho expliquem d’una altra forma:

Anomenem S a la suma.

\( S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots\)

Multipliquem la suma per la raó.

\( \frac{1}{2}S=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots\)

Restem les expressions anteriors:

\( S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\)

Com restem termes iguals només ens queda aquesta expressió.

Si aïllem la S:

\( S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\Rightarrow(1-\frac{1}{2})S=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\Rightarrow S=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1\)

Per tant la distància recorreguda és \( 1+1+S=1+1+1=3\).