El majordom mentia.
Com que les monedes estaven colocades originalment formant un quadrat, sabem que la quantitat de monedes que hi havia era un quadrat perfecte: 1, 4, 9, 16, 25...
Ara bé, segons el majordom, tres lladres se les van repartir i van sobrar dos. Açò és impossible. Vegem per què.
Tots els nombres naturals es poden classificar en tres grups, depenent del residu que obtenim quan els dividim entre 3. Vegem com es comporten els nombres de cadascun d'aquestos tres grups quan els elevem al quadrat.
En primer lloc, tenim els nombres que donen residu 0 quan els dividim entre 3, és a dir, els múltiples de 3. Tots els múltiples de 3 es poden escriure com 3 multiplicat per un altre número, anomenem-lo \( k \). Si elevem al quadrat:
\( (3k)^2=9k^2= 3 \cdot 3k^2 \)
Observem que el resultat també és un múltiple de 3.
En segon lloc, tenim els nombres que donen residu 1 quan els dividim entre 3. Tots els nombres d'aquesta categoria es poden escriure com 3 multiplicat per un altre número, anomenem-lo \( k \), més 1. Si elevem al quadrat:
\( (3k+1)^2=9k^2+6k+1=3\cdot (3k^2+2k) +1 \)
Observem que el resultat també és un múltiple de 3 més 1.
Finalment, tenim els nombres que donen residu 2 quan els dividim entre 3. Tots els nombres d'aquesta categoria es poden escriure com 3 multiplicat per un altre número, anomenem-lo \( k \), més 2. Si elevem al quadrat:
\( (3k+2)^2=9k^2+12k+4=3\cdot (3k^2+4k+1) +1 \)
És a dir, el resultat és un múltiple de 3 més 1.
En conclusió, quan calculem quadrats perfectes en ningun dels tres casos obtenim un nombre que done 2 com a residu en dividir-lo per 3. Per tant, la història del majordom és clarament falsa.