na de las líneas estratégicas del CEFIRE CTEM, como ya informaremos en el boletín anterior, es la Educación Matemática. En esta ocasión tratamos de hacer una reflexión sobre la formación permanente del profesorado de secundaria.
La situación de emergencia sanitaria actual, debida a la COVID19, ha posado de manifiesto que un modelo de enseñanza de las matemáticas basado en los cálculos y las rutinas propicia que gran parte de la ciudadanía no sea matemáticamente competente. En las diferentes redes sociales se hace patente esta carencia de competencia matemática. Son muchas las personas que manifiesto dificultades en la hora de interpretar la cantidad de información sobre la evolución de los contagios, las previsiones, las medidas para paliar el número de decesos, la necesidad de homogeneitzar los datos para que se puedan hacer modelos matemáticos fiables… Lo cual promueve un gran número de noticias falsas y de desinformación que alertan sin sentido aparte de la población en lugar de analizar sin alarmismos pero con rigor y precisión todos los datos que cada día surgen. Así pues, desde nuestra situación como asesoras y asesores de formación permanente deseamos que esta situación nos proporcione una nueva ocasión para reflexionar juntos sobre la necesidad de una enseñanza competencial basada en La Educación Matemática Realista (EMR), que nació en Holanda durante los años 60, impulsada por Freudenthal (1991) como oposición a las corrientes formalistas y mecanicistas.
La formación continua que impulsamos desde el CEFIRE CTEM asume el consenso académico en el área de la Didáctica de las Matemáticas sobre la necesidad de partir de contextos, situaciones reales y materiales concretos que dotan de sentido a la actividad matemática del estudiantado. Los contextos, situaciones y materiales tienen que vehicular y modelar el camino del concreto al abstracto que garantiza el aprendizaje matemático. Por otro lado, la competencia matemática está íntimamente relacionada con el punto de vista funcional de las matemáticas y que implica enseñar y aprender matemáticas como una “manera de hacer”, esto es, una forma de comprensión del mundo. Niss (2002) define competencia matemática como la habilidad para comprender,
juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de situaciones en las cuales las matemáticas juegan o pueden ejercer un papel. El alumnado tiene que enfrentarse a los problemas “construyendo” las matemáticas, un proceso que denominamos matematización y que puede trabajarse en dos niveles: horizontal y vertical. La matematización horizontal consiste al trasladar un problema de su contexto a contenido y procesos matemáticos. La matematización vertical son los procesos y estrategias de organización, generalización o abstracción del propio contenido matemático. Estos dos grandes procesos recogen todas las competencias matemáticas y son la base tanto de la actividad matemática como de su enseñanza y aprendizaje.
En las líneas estratégicas establecidas por el equipo de Educación Matemática del CEFIRE CTEM, matematización horizontal y la vertical corresponden a la modelización matemática y a la resolución de problemas. Son procesos que atraviesan todos los contenidos. Por qué consideramos que es más importante trabajar con el profesorado competencias y herramientas que contenidos matemáticos? Shulman (1989) argumentó que «la competencia de los docentes en las materias que enseñan es un criterio básico para establecer la calidad del profesor» y, por lo tanto, diseñó un marco teórico para describir y explicar el conocimiento básico de la enseñanza. Según Shulman, los aspectos centrales que tienen que tratarse en relación con el docente son la comprensión que este tiene del contenido de enseñanza y de las relaciones entre esta comprensión y la propia enseñanza proporcionada al alumnado. Al primero lo denomina conocimiento del contenido y al segundo conocimiento didáctico del contenido. El profesorado de Matemáticas de Secundaria ha recibido, generalmente, una formación muy sólida en Matemáticas. El conocimiento del contenido de enseñanza se los presupone. Sin embargo, su formación inicial no es tan profunda en conocimiento didáctico del contenido. Ofrecer vías de especialización y reflexión en relación al conocimiento didáctico del contenido es muy importante, porque es el coro de la competencia del profesor. Este conocimiento comprende la comprensión profunda de los procesos de enseñanza y aprendizaje, “los tópicos que más regularmente se enseñan en una área, las formas útiles de representación de las ideas, las analogías más poderosas, ilustraciones, ejemplos, explicaciones y demostraciones, y, en una palabra, la manera de representar y formular la materia para hacerla comprensible a otros” (Shulman, 1986, p. 9). Esto implica la elección del CEFIRE CTEM de una formación continua no tanto sobre contenidos matemáticos como sobre los procesos (horizontales y verticales) de enseñanza y aprendizaje de estos contenidos.
La base de esta formación continua centrada en el conocimiento didáctico de las Matemáticas es el curso de catálogo Recursos matemáticos para ESO y Bachillerato . En este curso hay un módulo dedicado a la resolución de problemas y otro módulo dedicado a la modelización, dando respuesta a estos dos procesos generales que todo docente interesado a profundizar y reflexionar sobre la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas tendría que conocer. Pero además hay tres módulos que responden a la siguiente pregunta: con qué herramientas contamos para desplegar estos procesos en el aula? Las herramientas TACO (Tecnologías para el Aprendizaje y el Conocimiento) son esenciales, y por eso encontramos un módulo dedicado en la calculadora y otro módulo dedicado al GeoGebra. Ambas son tecnologías específicas que vehiculan la adquisición y desarrollo de las competencias matemáticas, no solo facilitando los cálculos, sino permitiendo la manipulación simbólica y el uso de múltiples representaciones. Además, en el último módulo se ofrece una compilación de recursos manipulativos y para la experimentación, ofreciendo otras herramientas para enseñar y aprender Matemáticas desde el contexto y de manera competencial, alejadas del formalismo o la aplicación rutinaria de contenidos procedimentales.
Resolución de problemas: herramientas, estrategias y destrezas heurísticas
El primer módulo del curso Recursos Matemáticos para ESO y Bachillerato se dedica a la enseñanza y el aprendizaje de la resolución de problemas. Es una línea formativa que continúa con otro curso que pretenden profundizar en la heurística.
Hay que recordar que los decretos por los cuales se establece el currículum básico de Educación Secundaria Obligatoria y de Bachillerato destacan, en el marco teórico, la importancia que la resolución de problemas tiene en las matemáticas, y el papel crucial que representa en su aprendizaje y enseñanza.
La importancia de la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas nos alentó, con la colaboración de Ricard Peiró i Estruch y Onofre Monzó del Olmo, ha diseñar este curso, el objetivo del cual es la confección de una secuencia, no exhaustiva, de la enseñanza y el aprendizaje de la resolución de problemas mediante diferentes herramientas, estrategias y destrezas heurísticas, basada en los estudios de Luis Puig.
En Elementos de resolución de problemas , Luis Puig (1996, p.38) recoge la definición de la heurística de Polya: “La intención de la heurística es estudiar los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención”1 . Para Luis Puig (1996, p.38) “El que es propio de la heurística es el estudio de las maneras de comportamiento al resolver problemas y los medios que se utilizan en el proceso de resolverlos que son independientes del contenido y que no suponen garantía que se obtenga la solución, y calificaremos, por lo tanto, de ”heurísticos” a tales maneras y medios”2
Iniciación a GeoGebra
El segundo módulo del curso está dedicado a GeoGebra.
GeoGebra es un programa informático de geometría dinámica, totalmente libro que se puede descargar gratuitamente desde la página oficial www.geogebra.org. Combina al mismo tiempo aplicaciones de geometría con las de álgebra, permitiendo simultáneamente trabajar con una hoja de cálculo, si es el caso, incorporando estos datos en el programa.
Una de las ventajas fundamentales de trabajar con él, es que dado su carácter visual y manipulativo, el alumnado se meneja de una manera cómoda y sencilla con él, experimentando de manera intuitiva las diferentes propiedades de los objetos matemáticos que pueden resultar más complicados de entender en una clase convencional.
Por otro lado, dada la facilidad con la que se pueden crear las figuras geométricas, puede resultar de gran utilidad en la hora de diseñar exámenes, puesto que permite realizar construcciones exportables para una posterior impresión.
El módulo no pretende ser más que un ligero esbozo de las múltiplos posibilitados que el programa nos ofrece. Anualmente desde el Cefire CTEM sacamos varias ediciones de cursos tanto para infantil y primaria como para secundaria y bachillerato, con actividades prácticas de uso inmediato al aula. Todas y cada una de ellas vienen explicadas a través de tutoriales de video, para agilizar su comprensión.
La calculadora científica y la calculadora gráfica como recurso en el aula de matemáticas en ESO y Bachillerato
El tercer módulo del curso Recursos Matemáticos para ESO y Bachillerato se dedica al uso de la calculadora como recurso para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Es una línea formativa que continúa con otro curso donde se profundiza en el uso didáctico de la calculadora.
En muchas ocasiones hacer de la calculadora un uso didáctico contribuye a hacer una enseñanza significativa de los conceptos matemáticos. La incorporación cotidiana de la calculadora al aula como un recurso de aprendizaje permite dedicar menos tiempo a las tareas algorísmiques y rutinarias en favor de la reflexión sobre los propios conceptos, y favorece que el alumnado centre sus esfuerzos en los procesos matemáticos como por ejemplo la resolución de problemas o las conexiones dentro y fuera de las matemáticas.
Este planteamiento nos animó a diseñar, con la colaboración de Ricard Peiró i Estruch, un curso donde el profesorado dispongo de una selección de actividades y de problemas contextualizados para resolver con calculadora, así como un espacio de reflexión e intercambio de opiniones y de experiencias sobre el uso de la calculadora en el aula. Es evidente que la calculadora es un instrumento que da solución a problemas que tradicionalmente solo se han podido resolver con lápices y papel. Este hecho cuestiona como enseñar los contenidos de matemáticas, así como qué contenidos hay que enseñar. Por otro lado, el hecho de que el alumnado pueda utilizar la calculadora en el aula y a las pruebas escritas determina aquello que el alumno tiene que saber y el que tiene que saber hacer, donante más importancia a la resolución y la interpretación de los problemas que a la manipulación algebraica. En definitiva, el curso trata de dar una visión global de las posibilidades de trabajo con la calculadora científica y la calculadora gráfica en toda la etapa de secundaria.
Bases para activar las competencias matemáticas a través de la modelización y Semana de la modelización. Retos para conectar las matemáticas con lo mi real
El cuarto módulo del curso Recursos Matemáticos para ESO y Bachillerato se dedica a la enseñanza y el aprendizaje de la modelización matemática. Es una línea formativa que continúa con otros dos cursos que pretenden apoyar progresivo para la incorporación en las clases de matemáticas de tareas abiertas, complejas y definidas en un contexto real, llamadas tareas de modelización.
El primer curso de esta línea es Bases para activar las competencias matemáticas a través de la modelización . Se trata de un curso online de 20 horas que pretende ofrecer una panorámica de la enseñanza de la modelización, recogiendo las cinco competencias que tienen que considerarse cuando se diseña una formación en modelización, según el trabajo de Borromeo y Blum (2010):
a) Competencia teórica: conocimiento sobre el ciclo de modelización, tipo de tareas de modelización y objetivos del uso de la modelización.
b) Competencia relativa a las tareas: habilidad para resolver, analizar y crear tareas de modelización.
c) Competencia de enseñanza: habilidad para planificar secuencias de modelización y conocimiento sobre la gestión del aula.
d) Competencia diagnóstica: habilidad para identificar el progreso del alumnado en el ciclo de modelización, así como identificar dificultades.
e) Competencia en evaluación: habilidad para diseñar herramientas de evaluación para este tipo de tareas.
Esta línea continúa con el curso semipresencial de 30 horas Semana de la modelización. Retos para conectar las Matemáticas con el mundo real . El curso está compuesto por sesiones prácticas en las cuales se prepara una semana de modelización que cada docente tiene que desarrollar en su aula o centro. La última sesión, programada para después de haber implementado la semana de la modelización, se dedica al intercambio de experiencias entre los docentes participantes.
Además de estas propuestas de formación, de las cuales surge el curso Recursos matemáticos para ESO y Bachillerato, desde el equipo de matemáticas colaboramos en el diseño y en la implementación de formación de ámbito STEM con el resto de asesores y de asesoras, tanto del Cefire CTEM como de toda la red de Cefires de la Generalitat Valenciana. La lista es larga, pero nos gustaría destacar Lectociència y metodologías CLIL.
Para acabar, os presentamos el curso presencial Las Matemáticas a través del Arte , diseñado con la colaboración de José Antonio Bonillo y Santiago Lapeña Royo, donde se posa de relevo la importancia de las matemáticas en todo aquello que nos rodea, y en este sentido se ofertará en breve una formación con el título Las matemáticas sin salir de casa , que nos da una idea de la importancia que concedemos a todos aquellos aspectos matemáticos próximos a nosotros y que en muchas ocasiones nos pasan desapercibidos.
Las Matemáticas a través de l ́Arte
Como miembros de un CEFIRE de Ámbito, siempre tenemos presente la interdisciplinariedad de todas las asignaturas que lo conforman y queremos ir más allá, puesto que entendemos que las matemáticas están presentes a cualquier situación de la vida. Además detrás de la idea de STEM, está también presente la de STEAM añadiendo la A de Artes. Se trata de un curso teórico-práctico, por un lado, con el profesor José Antonio Bonillo basura un recorrido de la interrelación de la geometría y de la pintura, de como el avance de las diferentes geometrías hace que los pintores y las pintoras trabajan la perspectiva, los puntos de fuga, las curvas, la rotura del realismo… y cóm los diferentes cuerpos geométricos y curvas dan respuesta a los problemas arquitectónicos de amplitud, espaldarazo del peso, concepción de la iluminación, etc.
Por otro lado, con el profesor Santiago Lapeña Royo, se trabaja de manera práctica la construcción de fractales, mediante elementos reciclables, basándose en el concepto d ́iteración se crean el triángulo y la alfombra de Sierpinski, que los participantes pueden llevarse en sus centros. Es en esta parte, donde los participantes trabajan conectando varios contenidos de las diferentes asignaturas del currículum.
Referencias bibliográficas
Borromeo Ferri, R., y Blum, W. (2010). Mathematical Modelling in teacher education – experiences from a modelling seminar. En V. Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne, & F. Arzarello (Eds.), CERME 6. Proceedings of the sixth congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 2046–2055). Lyon: Instituto national de recherche pédagogique.
Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrectht: Kluwer Academic Publishers.
Niss, M. (2002). Mathematical competencies and the learning of mathematics: the Danish Kom Project . Roskilde University, Roskilde.
1,2 Traducción de M. Teresa Navarro Moncho.