Disseny i implementació de formació permanent de Matemàtiques en l’Educació Secundària

na de les línies estratègiques del CEFIRE CTEM, com ja informarem en el butlletí anterior, és l’Educació Matemàtica. En aquesta ocasió tractem de fer una reflexió sobre la formació permanent del professorat de secundària. 

La situació d’emergència sanitària actual, deguda a la COVID19, ha posat de manifest que un model d’ensenyament de les matemàtiques basat en els càlculs i les rutines propicia que gran part de la ciutadania no siga matemàticament competent. A les diferents xarxes socials es fa palesa aquesta manca de competència matemàtica. Són moltes les persones que manifeste dificultats a l’hora d’interpretar la quantitat d’informació sobre l’evolució dels contagis, les previsions, les mesures per pal·liar el nombre de decessos, la necessitat d’homogeneitzar les dades per tal que es puguen fer models matemàtics fiables… La qual cosa promou un gran nombre de notícies falses i de desinformació que alerten sense sentit a part de la població en lloc de analitzar sense alarmismes però amb rigor i precisió totes les dades que cada dia sorgeixen. Així doncs, des de la nostra situació com a assessores i assessors de formació permanent desitgem que aquesta situació ens proporcione una nova ocasió per reflexionar junts sobre la necessitat d’un ensenyament competencial basat en L’Educació Matemàtica Realista (EMR), que va nàixer a Holanda durant els anys 60, impulsada per Freudenthal (1991) com a oposició als corrents formalistes i mecanicistes.

La formació contínua que impulsem des del CEFIRE CTEM assumeix el consens acadèmic en l’àrea de la Didàctica de les Matemàtiques sobre la necessitat de partir de contextos, situacions reals i materials concrets que doten de sentit a l’activitat matemàtica de l’estudiantat. Els contextos, situacions i materials han de vehicular i modelar el camí del concret a l’abstracte que garanteix l’aprenentatge matemàtic. D’altra banda, la competència matemàtica està íntimament relacionada amb el punt de vista funcional de les matemàtiques i que implica ensenyar i aprendre matemàtiques com una “manera de fer”, això és, una forma de comprensió del món. Niss (2002) defineix competència matemàtica com l’habilitat per a comprendre,
jutjar, fer i usar les matemàtiques en una varietat de situacions en les quals les matemàtiques juguen o poden exercir un paper. L’alumnat ha d’enfrontar-se als problemes “construint” les matemàtiques, un procés que denominem matematització i que pot treballar-se a dos nivells: horitzontal i vertical. La matematització horitzontal consisteix en traslladar un problema del seu context a contingut i processos matemàtics. La matematització vertical són els processos i estratègies d’organització, generalització o abstracció del propi contingut matemàtic. Aquests dos grans processos recullen totes les competències matemàtiques i són la base tant de l’activitat matemàtica com del seu ensenyament i aprenentatge. 

En les línies estratègiques establides per l’equip d’Educació Matemàtica del CEFIRE CTEM, matematització horitzontal i la vertical corresponen a la modelització matemàtica i a la resolució de problemes. Són processos que travessen tots els continguts. Per què considerem que és més important treballar amb el professorat competències i eines que continguts matemàtics? Shulman (1989) va argumentar que “la competència dels docents en les matèries que ensenyen és un criteri bàsic per a establir la qualitat del professor” i, per tant, va dissenyar un marc teòric per a descriure i explicar el coneixement bàsic de l’ensenyament. Segons Shulman, els aspectes centrals que han de tractar-se en relació amb el docent són la comprensió que aquest té del contingut d’ensenyament i de les relacions entre aquesta comprensió i el propi ensenyament proporcionat a l’alumnat. Al primer ho denomina coneixement del contingut i al segon coneixement didàctic del contingut. El professorat de Matemàtiques de Secundària ha rebut, generalment, una formació molt sòlida en Matemàtiques. El coneixement del contingut d’ensenyament se’ls pressuposa. No obstant això, la seua formació inicial no és tan profunda en coneixement didàctic del contingut. Oferir vies d’especialització i reflexió en relació al coneixement didàctic del contingut és molt important, perquè és el cor de la competència del professor. Aquest coneixement comprèn la comprensió profunda dels processos d’ensenyament i aprenentatge, “els tòpics que més regularment s’ensenyen en una àrea, les formes útils de representació de les idees, les analogies més poderoses, il·lustracions, exemples, explicacions i demostracions, i, en una paraula, la manera de representar i formular la matèria per a fer-la comprensible a uns altres” (Shulman, 1986, p. 9). Això implica l’elecció del CEFIRE CTEM d’una formació contínua no tant sobre continguts matemàtics com sobre els processos (horitzontals i verticals) d’ensenyament i aprenentatge d’aquests continguts. 

La base d’aquesta formació contínua centrada en el coneixement didàctic de les Matemàtiques és el curs de catàleg Recursos matemàtics per a ESO i Batxillerat . En aquest curs hi ha un mòdul dedicat a la resolució de problemes i un altre mòdul dedicat a la modelització, donant resposta a aquests dos processos generals que tot docent interessat a aprofundir i reflexionar sobre l’ensenyament i l’aprenentatge de les Matemàtiques hauria de conèixer. Però a més hi ha tres mòduls que responen a la següent pregunta: amb quines eines comptem per a desplegar aquests processos a l’aula? Les eines TAC (Tecnologies per a l’Aprenentatge i el Coneixement) són essencials, i per això trobem un mòdul dedicat a la calculadora i un altre mòdul dedicat al GeoGebra. Ambdues són tecnologies específiques que vehiculen l’adquisició i desenvolupament de les competències matemàtiques, no sols facilitant els càlculs, sinó permetent la manipulació simbòlica i l’ús de múltiples representacions. A més, en l’últim mòdul s’ofereix un recull de recursos manipulatius i per a l’experimentació, oferint altres eines per a ensenyar i aprendre Matemàtiques des del context i de manera competencial, allunyades del formalisme o l’aplicació rutinària de continguts procedimentals.

Resolució de problemes: eines, estratègies i destreses heurístiques 

El primer mòdul del curs Recursos Matemàtics per a ESO i Batxillerat es dedica a l’ensenyament i l’aprenentatge de la resolució de problemes. És una línia formativa que continua amb altre curs que pretenen aprofundir en l’heurística.
Cal recordar que els decrets pels quals s’estableix el currículum bàsic d’Educació Secundària Obligatòria i de Batxillerat destaquen, en el marc teòric, la importància que la resolució de problemes té en les matemàtiques, i el paper crucial que representa en el seu aprenentatge i ensenyament. 

La importància de la resolució de problemes en l’ensenyament de les matemàtiques ens va encoratjar, amb la col·laboració de Ricard Peiró i Estruch i Onofre Monzó del Olmo, ha dissenyar aquest curs, l’objectiu del qual és la confecció d’una seqüència, no exhaustiva, de l’ensenyament i l’aprenentatge de la resolució de problemes mitjançant diferents eines, estratègies i destreses heurístiques, basada en els estudis de Luis Puig. 

En Elementos de resolución de problemas , Luis Puig (1996, p.38) recull la definició de l’heurística de Polya: “La intenció de l’heurística és estudiar els mètodes i les regles del descobriment i la invenció”1 . Per a Luis Puig (1996, p.38) “El que és propi de l’heurística és l’estudi de les maneres de comportament al resoldre problemes i els mitjans que s’utilitzen en el procés de resoldre’ls que són independents del contingut i que no suposen garantia que s’obtinga la solució, i qualificarem, per tant, de ”heurístics” a tals maneres i mitjans”2 

Iniciació a GeoGebra

El segon mòdul del curs està dedicat a GeoGebra. 

GeoGebra és un programa informàtic de geometria dinàmica, totalment lliure que es pot descarregar gratuïtament des de la pàgina oficial www.geogebra.org. Combina al mateix temps aplicacions de geometria amb les d’àlgebra, permetent simultàniament treballar amb un full de càlcul, si és el cas, incorporant aquestes dades al programa. 

Una dels avantatges fonamentals de treballar amb ell, és que donat el seu caràcter visual i manipulatiu, l’alumnat es meneja d’una manera còmoda i senzilla amb ell, experimentant de manera intuitiva les diferents propietats dels objectes matemàtics que poden resultar més complicats d’entendre en una classe convencional. 

D’altra banda, donada la facilitat amb la que es poden crear les figures geomètriques, pot resultar de gran utilitat a l’hora de dissenyar exàmens, ja que permet realitzar construccions exportables per a una posterior impressió. 

El mòdul no pretén ser més que un lleuger esbós de les múltiples possibilitats que el programa ens ofereix. Anualment des del Cefire CTEM traiem diverses edicions de cursos tant per a infantil i primària com per a secundària i batxillerat, amb activitats pràctiques d’ús immediat a l’aula. Totes i cadascuna d’elles venen explicades a través de tutorials de vídeo, per a agilitzar la seua comprensió.

La calculadora científica i la calculadora gràfica com a recurs a l’aula de matemàtiques en ESO i Batxillerat 

El tercer mòdul del curs Recursos Matemàtics per a ESO i Batxillerat es dedica a l’ús de la calculadora com a recurs per a l’ensenyament i l’aprenentatge de les matemàtiques. És una línia formativa que continua amb altre curs on s’aprofundeix en l’ús didàctic de la calculadora. 

En moltes ocasions fer de la calculadora un ús didàctic contribueix a fer un ensenyament significatiu dels conceptes matemàtics. La incorporació quotidiana de la calculadora a l’aula com un recurs d’aprenentatge permet dedicar menys temps a les tasques algorísmiques i rutinàries en favor de la reflexió sobre els propis conceptes, i afavoreix que l’alumnat centre els seus esforços en els processos matemàtics com ara la resolució de problemes o les connexions dintre i fora de les matemàtiques.

Aquest plantejament ens va animar a dissenyar, amb la col·laboració de Ricard Peiró i Estruch, un curs on el professorat dispose d’una selecció d’activitats i de problemes contextualitzats per resoldre amb calculadora, així com un espai de reflexió i intercanvi d’opinions i d’experiències sobre l’ús de la calculadora en l’aula. És evident que la calculadora és un instrument que dóna solució a problemes que tradicionalment sols s’han pogut resoldre amb llapis i paper. Aquest fet qüestiona com ensenyar els continguts de matemàtiques, així com quins continguts cal ensenyar. D’altra banda, el fet de que l’alumnat puga utilitzar la calculadora a l’aula i a les proves escrites determina allò que l’alumne ha de saber i el que ha de saber fer, donant més importància a la resolució i la interpretació dels problemes que a la manipulació algebraica. En definitiva, el curs tracta de donar una visió global de les possibilitats de treball amb la calculadora científica i la calculadora gràfica en tota l’etapa de secundària. 

Bases per a activar les competències matemàtiques a través de la modelització i Setmana de la modelització. Reptes per a connectar les matemàtiques amb el mon real 

El quart mòdul del curs Recursos Matemàtics per a ESO i Batxillerat es dedica a l’ensenyament i l’aprenentatge de la modelització matemàtica. És una línia formativa que continua amb altres dos cursos que pretenen donar suport progressiu per a la incorporació en les classes de matemàtiques de tasques obertes, complexes i definides en un context real, anomenades tasques de modelització. 

El primer curs d’aquesta línia és Bases per a activar les competències matemàtiques a través de la modelització . Es tracta d’un curs online de 20 hores que pretén oferir una panoràmica de l’ensenyament de la modelització, recollint les cinc competències que han de considerar-se quan es dissenya una formació en modelització, segons el treball de Borromeo i Blum (2010): 

a)  Competència teòrica: coneixement sobre el cicle de modelització, tipus de tasques de modelització i objectius de l’ús de la modelització.

b)  Competència relativa a les tasques: habilitat per a resoldre, analitzar i crear tasques de modelització.

c)  Competència d’ensenyament: habilitat per a planificar seqüències de modelització i coneixement sobre la gestió de l’aula.

d)  Competència diagnòstica: habilitat per a identificar el progrés de l’alumnat en el cicle de modelització, així com identificar dificultats.

e)  Competència en avaluació: habilitat per a dissenyar eines d’avaluació per a aquesta mena de tasques.

Aquesta línia continua amb el curs semipresencial de 30 hores Setmana de la modelització. Reptes per a connectar les Matemàtiques amb el món real . El curs està compost per sessions pràctiques en les quals es prepara una setmana de modelització que cada docent ha de desenvolupar a la seua aula o centre. L’última sessió, programada per a després d’haver implementat la setmana de la modelització, es dedica a l’intercanvi d’experiències entre els docents participants. 

A més d’aquestes propostes de formació, de les quals sorgeix el curs Recursos matemàtics per a ESO i Batxillerat, des de l’equip de matemàtiques col·laborem en el disseny i en la implementació de formació d’àmbit STEM amb la resta d’assessors i d’assessores, tant del Cefire CTEM com de tota la xarxa de Cefires de la Generalitat Valenciana. La llista és llarga, però ens agradaria destacar Lectociència i metodologies CLIL. 

Per acabar, us presentem el curs presencial Les Matemàtiques a través de l’Art , dissenyat amb la col·laboració de José Antonio Bonillo i Santiago Lapeña Royo, on es posa de relleu la importància de les matemàtiques en tot allò que ens envolta, i en aquest sentit s’ofertará en breu una formació amb el títol Les matemàtiques sense eixir de casa , que ens dóna una idea de la importància que concedim a tots aquells aspectes matemàtics pròxims a nosaltres i que en moltes ocasions ens passen desapercebuts. 

Les Matemàtiques a través de l ́Art 

Com a membres d’un CEFIRE d’Àmbit, sempre tenim present la interdisciplinarietat de totes les assignatures que el conformen i volem anar més enllà, ja que entenem que les matemàtiques estan presents a qualsevol situació de la vida. A més a més darrere de la idea de STEM, està també present la de STEAM afegint la A d’Arts. Es tracta d’un curs teòric-pràctic, per una banda, amb el professor José Antonio Bonillo fem un recorregut de la interrelación de la geometria i de la pintura, de com l’avanç de les diferents geometries fa que els pintors i les pintores treballen la perspectiva, els punts de fuga, les corbes, el trencament del realisme… i cóm els diferents cossos geomètrics i corbes donen resposta als problemes arquitectònics d’amplitud, recolzament del pes, concepció de la il·luminació, etc. 

D’altra banda, amb el professor Santiago Lapeña Royo, es treballa de manera pràctica la construcció de fractals, mitjançant elements reciclables, basant-se en el concepte d ́iteració es creen el triangle i la catifa de Sierpinski, que els participants poden emportar-se als seus centres. És en aquesta part, on els participants treballen connectant diversos continguts de les diferents assignatures del currículum. 

Referències bibliogràfiques 

Borromeo Ferri, R., y Blum, W. (2010). Mathematical Modelling in teacher education – experiences from a modelling seminar. En V. Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne, & F. Arzarello (Eds.), CERME 6. Proceedings of the sixth congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 2046–2055). Lyon: Institut national de recherche pédagogique. 

Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrectht: Kluwer Academic Publishers. 

Niss, M. (2002). Mathematical competencies and the learning of mathematics: the Danish Kom Project . Roskilde University, Roskilde. 

pastedGraphic.png

1,2  Traducció de M. Teresa Navarro Moncho.