Propiedades de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una sucesión definida por recurrencia. Esto significa que para calcular un término de la sucesión se necesitan los términos que le preceden.

Se proporcionan los dos primeros términos: a₁=1  y a₂=1. Los siguientes se calculan con la siguiente fórmula: a_n+1=a_n+a_n-1 con n > 2

El tema de sucesiones corresponde a 3r ESO.

Veamos propiedades interesantes de esta sucesión. (nivel 2º Bachillerato)

PROPIEDADES 

1. El término general se puede expresar como 
2. La suma de los n primeros términos: a₁ + a₂ +…+ a_n = a_n+2 – 1
3. La suma de los términos impares: a₁ + a₃ +…+ a_2n-1 = a_2n
4. La suma de los términos pares: a₂ + a₄ +…+ a_2n = a_2n+1-1
5. La suma de los cuadrados de los n primeros términos: a₁² + a₂² +…+ a_n² =a_n · a_n+1 
6. Si restamos a los n primeros impares los n primeros términos pares se cumple: a₁  – a₂ + a₃ – a₄ +…+ a_2n-1 – a_2n= 1 – a_2n-1
7. La sucesión de Fibonacci cumple que: a_n·a_n+1 – a_n-1 ·a_n-2 = a_2n-1.
8. La sucesión de Fibonacci cumple que:  a_n+4= 5·a_n + 3·a_n-1
9. La sucesión de Fibonacci cumple que: a_n+3= 2a_n+1 +a_n
10. La sucesión de Fibonacci cumple que: a_n+4= 3a_n+1 +2a_n
11. La sucesión de Fibonacci cumple que: a_n+5= 5a_n+1 +3a_n
12. La sucesión de Fibonacci cumple que: a_n+m=a_n-1·a_m + a_n · a_m+1
13. La diferencia de los cuadrados de términos alternos: a_n+1² – a_n-1² =a_2n
14. La suma de los cuadrados de dos términos consecutivos:  a_n-1²+ a_n² =a_2n-1
15. La sucesión de Fibonacci cumple que: a₃ + a₆ +…+ a_3n = 1/2 · (a_3n+2 – 1)
16. La sucesión de Fibonacci cumple que: a_n+2² – a_n+1² =a_n · a_n+3 
17. La Identidad de Cassini: a_n+1·a_n-1–  a_n² = (-1)ⁿ
18. La sucesión de Fibonacci cumple que: a₁ · a₂  +a₂ · a₃ +…+ a_2n-1 · a_2n=  a_2n²
19. El limite cuando n tiende a infinito del cociente de dos términos consecutivos es el número áureo. donde 
20. El limite cuando n tiende a infinito del cociente de dos términos consecutivos es el inverso del número áureo  
21. El limite cuando n tiende a infinito de dos terminos alternos cumple: 
22. El limite cuando n tiende a infinito de dos terminos alternos cumple: 

Existen muchas propiedades más que puedes encontrar en muchos estudios realizados sobre esta sucesión.

En el siguiente enlace puedes encontrar la demostración de las propiedades arriba enunciadas. DEMOSTRACIÓN PROPIEDADES SUCESSIÓN DE FIBONACCI.

CURIOSIDADES:

* Los unicos términos que son cuadrados perfectos son: 1 y a₁₂=144

* Los únicos términos que son el cubo de un número son: 1 y a₆=8.

* Dos términos consecutivos son primos entre sí. MCD (a_n , a_n+1) = 1

* Si a_n es primo, entonces  n es primo excepto a₄

* El término general de la sucesión de Fibonacci llamada fórmula de Binet (por Jacques Binet y demostrada un siglo antes por Abraham de Moivre) es:

NÚMERO ÁUREO

El número áureo se define como el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de longitudes a y b (supongamos que a > b).

Esta proporción es: La longitud del segmento de longitud a+b es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al segmento b. Es decir,

.

Si suponemos que  a= x y b= 1,  la proporción queda:  

multiplicando en cruz e igualando a 0, obtenemos la ecuación x²-x-1= 0

Las soluciones de esta ecuación son:  y .

El número áureo es 

Propiedades que cumple el número áureo:

• 
• + = 1
•  ·= – 1
• 

CURIOSIDAD: El número áureo y la poesía

Rafael Albertí escribió este poema, A la divina proporción:

A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños, angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.