Una arcotangente cambió la percepción de la Tierra

Hace unos días acabamos el tema de trigonometría en 4º de la ESO. En el examen salió un problema que consistía en calcular la inclinación de los rayos del sol conociendo nuestra altura y la longitud de nuestra sombra.

Antiguamente, un problema como éste permitió demostrar que la Tierra no era plana, sino redonda.

Y, ¿Quién fue la primera persona en calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra y en consecuencia el radio de la Tierra?

Fue un matemático que conocemos bien desde 1º de la ESO cuando vimos como calcular los números primos mediante una criba: La criba de Eratóstenes.

Eratóstenes, nació en una ciudad de la antigua Grecia situada en la actual Libia, y terminó sus días en Alejandría (Egipto).

¿Pero como lo demostró?

Estando en Syene (Egipto), actualmente Asuán, entre el 20 y 21 de junio (solsticio de verano), observó que los rayos del sol caían perpendicularmente sobre el suelo, ya que cualquier cuerpo carecía de sombra. Esto ocurre porque esta ciudad se encuentra en el trópico de cáncer (paralelo cuya latitud coincide con el ángulo de inclinación del eje de la tierra con respecto al plano en el que se encuentra su órbita alrededor del sol, que es de 23.4°).

Su investigación consistió en hacer una medición simultanea en dos ciudades. Una de ella Syene y la otra Alejandría, ciudades que distan unos 800 Km. aproximadamente. El motivo de elegir Alejandría fue porque ambas ciudades se encontraban aproximadamente en el mismo meridiano.

La medición que realizó fue calcular el ángulo de inclinación que formaba los rayos de sol con una vara clavada en el suelo de Alejandría durante el solsticio de verano.

La vara y su sombra forman un triángulo rectángulo del que se conocen sus catetos, por lo que con cálculos trigonométricos, pudo calcular dicho ángulo. Ese ángulo le midió 7.2º.

Con la trigonometría actual, el ángulo lo hubieramos calculado de la siguiente forma:

, luego  

Después, realizó un dibujo en el que representó la Tierra, su centro, los radios de ésta ,que son la prolongación de las dos varas clavadas en ambas ciudades, y los rayos de sol, y observó que el ángulo que había calculado era igual que el ángulo que forma ambos radios.

Nota: Son iguales por las relaciones existentes entre ángulos que se obtienen al cortar dos rectas paralelas con otra recta (ángulos alternos internos).

Y con esos datos, con una simple regla de tres, obtuvo la longitud de la circunferencia y por lo tanto su radio.

Si a 7,2º le corresponde 800 km, a 360º le corresponderan x Km

De ahí sacó que la longitud era de 40000 km aprox.

Y usando la fórmula de la longitud de la circunferencia, calculó el radio de la Tierra.

Curiosidad: En aquella epoca ya se conocía una aproximación del número Pi, aunque no se le llamó así hasta muchos años atrás. Se usó la letra Pi del abecedario griego porque era la primera letra de la palabra periferia.

Fue Arquímedes, coetáneo de Eratóstenes, quien obtuvo la primera apróximación del número Pi. La consiguió calculando la relación entre los perímetros de los polígonos inscritos en una circunferencia y su radio. Llegó a demostrar que este número estaba comprendido entre 223/71 y 220/70.

Usando esos valores, Eratóstenes dedujo que el radio de la Tierra estaría entre 6363.6 Km y 6367.7 Km, muy próximo al valor que hoy conocemos que es de 3671 Km.