Un problema de probabilidad: La paradoja del cumpleaños
En la recta final de curso, en 4 ESO, hemos estudiado combinatoria y probabilidad. En esta entrada, vamos a utilizar lo aprendido en la paradoja del cumpleaños.
Esta paradoja nos dice que: «En un grupo de 23 personas, la probabilidad de que 2 personas cumplan años el mismo día es superior al 50%»
Para calcular esta probabilidad, primero calcularemos la probabilidad del suceso contrario, es decir, la probabilidad de que ninguna persona cumpla años el mismo día. Luego aplicaremos la propiedad
Para su cálculo, utilizaremos la regla de Laplace
También nos hará falta la propiedad que dice: Si A y B son independientes,
Empezemos!!
Vamos a estudiar un caso más general y luego calcularemos la probabilidad para 23 personas.
Supongamos que hay n personas.
Definimos los sucesos:
- A= 2 personas de un grupo de n cumplen años el mismo día
= Ninguna persona de un grupo de n cumple años el mismo día
¿Cuál sería la probabilidad de que ninguno de ellas cumpla años el mismo día?
¿Y la probabilidad de que 2 de ellas cumplan años el mismo día?
En primer lugar elegimos 1 persona al azar.
Entonces, si elegimos una segunda persona. La probabilidad que ésta persona no cumpla años el mismo día sería:
(casos favorables: todos los días del año excepto el que cumple años la primera persona; casos posibles: todos los días del año)
Y si elegimos una tercera, y la probabilidad de que no cumpla años con ninguna de las dos personas anteriores sería:
(casos favorables: todos los días del año excepto los que cumplen años las dos personas anteriores; casos posibles: todos los días del año)
Así sucesivamente, al elegir la persona n-ésima, la probabilidad de no coincidir su cumpleaños con las anteriores sería:
Si calculamos la probabilidad de que no coincida la fecha de cumpleaños de todos ellos (), al ser sucesos independientes, la probabilidad es el producto de las probabilidades.
Luego
=
·
·…·
Utilizando la definición de factorial de un número, tenemos que:
Luego la probabilidad de que 2 personas cumplan años el mismo día sería:
Caso particular:
Veamos que la probabilidad para el caso particular de n=23 es superior al 50%:
, es decir un 50,73%
NOTA:
Utilizando la misma fórmula, se puede comprobar que en un grupo de 60 personas la probabilidad de que 2 personas cumplan años el mismo día es superior al 99%.
Interesante, ¿verdad?
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