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Reducción al absurdo e Inducción matemática

Matemáticas

19 de octubre de 2019

En este apartado voy a hablaros de dos tipos muy diferentes que se utilizan para realizar demostraciones matemáticas.

En 3 ESO, a estas alturas del curso hemos visto ya los números reales y estamos estudiando el tema de progresiones.

Pues bien vamos a utilizar estos metodos para demostrar dos conceptos que acabamos de ver.

En primer lugar vamos a demostrar que $\sqrt{2}$ es un número irracional y a continuación que la suma de n primeros números naturales es $\frac{n\cdot \left ( n+1 \right )}{2}$ .

MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO

Para demostrar que $\sqrt{2}$ es un número irracional usaremos el método de reducción al absurdo.

Este método consiste suponiendo lo contrario y llegando a un resultado contradictorio.

Así pues, supongamos que $\sqrt{2}$ es un número racional, es decir, se puede expresar en forma de fracción

$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ con a y b primos entre si (fracción irreducible)

Si elevamos ambos miembros de la igualdad al cuadrado, se obtendría:

\left ( \sqrt{2} \right )^{^{2}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}\rightarrow 2=\frac{a^{^{2}}}{b^{^{2}}}

Si pasamos el denominador al otro miembro multiplicando tendríamos que

lo que querría decir que a es múltiplo de 2, así que podríamos expresarlo como a=2m

sustituyendo,

a^{2}=2\cdot b^{^{2}}\rightarrow \left (2m \right )^{2}=2\cdot b^{^{2}}

es decir

\left ( 2m \right )^{2}=2\cdot b^{2}\rightarrow 4m^{2}=2\cdot b^{2}

Simplificando

4m^{2}=2\cdot b^{2}\rightarrow 2m^{2}=b^{2}

lo que querría decir que b es múltiplo de 2.

Así que hemos llegado a la conclusión que a y b son múltiplos de 2, lo que contradice que eran primos entre si. Por tanto lo que hemos supuesto es falso y $\sqrt{2}$ no es un número racional, lo que demuestra que es irracional.

MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Para demostrar que la suma de n primeros números naturales es $\frac{n\cdot \left ( n+1 \right )}{2}$ vamos a utilizar el método de inducción matemática.

Este método consiste en demostrar una propiedad que depende de los números naturales ( $n\epsilon \mathbb{N}$ ).

Si esta propiedad se cumple para n=1 y se supone cierta para n, tenemos que demostrar que se cumple para n+1

Veamos la suma de los n primeros números naturales.

para n=1 se cumple que

para n se cumple que 1+2+3+4+5+….+n= $\frac{n\cdot \left ( n+1 \right )}{2}$

Veamos si es cierto para n+1

es decir si 1+2+3+4+5+….+n+ (n+1) = $\frac{\left ( n+1 \right )\cdot \left ( n+2 \right )}{2}$

Demostrémoslo:

1+2+3+4+5+….+n+ (n+1) = $\frac{n\cdot \left ( n+1 \right )}{2}$ +(n+1)=

= $\frac{n\cdot \left ( n+1 \right )}{2}+\left ( n+1 \right )=\frac{n\cdot \left ( n+1 \right )}{2}+\frac{2\cdot \left ( n+1 \right )}{2}=\frac{\left (n+1 \right )\cdot \left ( n+2 \right )}{2}$

que es lo que queríamos demostrar.

Así pues ya conoces dos nuevos métodos para demostrar proposiciones matemáticas.

Etiquetas: demostración

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