Paradoja de la escalera infinita

Si partimos de un cuadrado de lado 1 unidad, podemos construir una escalera infinita dividiendo en cada iteración el lado por la mitad como se puede observar en el siguiente dibujo.

Si calculamos la suma de la longitud de la escalera en cada iteración, podemos comprobar que siempre da el mismo resultado.

Inicialmente tenemos que 1+1=2,

en las siguientes iteraciones tendríamos:

• 1/2+1/2=2
• 1/4+1/4+1/4+1/4=2

Y así sucesivamente. Al repetir el proceso llegaríamos a la conclusión que la escalera converge a la diagonal por lo que las longitudes serían iguales.

Si calculamos la diagonal usando el teorema de Pitágoras tendríamos que d²=1²+1², es decir que d=.

Por lo tanto, 2=. ¿Cómo es posible?

Para poderlo entender, debemos saber como se calcula la longitud de cualquier curva, y éstas se calculan a partir de una integral (Nota: los conceptos de derivadas e integrales se estudian en bachillerato).

Su fórmula es:

Para poderla calcular la la longitud la función debe ser derivable, y en este caso no lo es, por eso no coinciden las longitudes.

Veamos otro caso en el que ocurre lo mismo.

Supongamos ahora una circunferencia de radio 1 inscrita en una circunferencia.

Ahora iremos eliminando cuadrados de cada esquina e iremos formando una escalera como en el caso anterior.

En la siguiente imagen se observa el procedimiento que se va seguir en una de las esquinas.

En esta ocasión la escalera infinita de cada esquina sumará siempre 2 y convergerá a la circunferencia.

Por tanto podríamos asegurar que el perímetro del cuadrado que mide 8 coincide con la longitud de la circunferencia que es 2··r, pero como el radio vale 1, la longitud sería 2·.

Igualando ambas cantidades se obtiene que 8=2·, o lo que es lo mismo que 4=.

La conclusión a la que hemos llegado no es correcta por el mismo motivo que el caso analizado anteriormente.