Números insólitos

El término de número insólito aparece en el articulo On a very thin sequence of integers.

Veamos como lo definen:

Se trata de un número natural mayor que 1 que no contiene en sus cifras al cero y cumple que los números que se obtienen al sumar sus cifras o multiplicarlas elevadas al cuadrado son divisores de dicho número..

Ejemplo 1: Comprueba que el número 111 es un número insólito.

• 1²+1²+1²= 3
• 1²·1²·1²= 1

Como 3 y 1 son divisores de 111, decimos que 111 es un número insólito.

Ejemplo 2: Comprueba que el número 122121216 es un número insólito.

• 1²+2²+2²+1²+2²+1²+2²+1²+6²=56
• 1²·2²·2²·1²·2²·1²·2²·1²·6²= 9216

Como 56 y 9216 son divisores de 122121216, decimos que 122121216 es un número insólito.

Ejercicio: Demuestra que el número 711813411914121216 es un número insólito.

Por último, informaros que hay un teorema que dice:

Un número formado por k dígitos, todos ellos unos, de modo que el número de dígitos es potencia de 3, es un número insólito.

• 3¹= 3: el número 111 es insólito
• 3²= 9: el número 111111111 es insólito
• en general, k= 3ⁿ, 1111….1 es insólito (número formado por k unos)

Este teorema se puede demostrar fácilmente por inducción matemática.

• Se demuestra que es cierto para n=1 (demostrado en el ejemplo 1)
• Se supone cierto para n-1
• Se demuestra para n:

Se debe cumplir que:

1. 1²·1²·…·1²= 1 sea divisor de dicho número. Es evidente al ser el número 1 divisor de todos los números naturales.
2. 1²+1²+…+1²=3ⁿ

Para demostrar que 3ⁿ es divisor, comprobaremos que el cociente de dos términos de la sucesión que forman estos números es divisible entre 3.

Dada la sucesión: 111, 111111111, 111111111111111111111111111….

a₁ es múltiplo de 3

Se cumple que a₂/a₁=1001001 múltiplo de 3, luego a₂=a₁·1001001, como a₁ es múltiplo de 3¹ , a₂ es múltiplo de 3²=9

a_n-1/a_n-2 es múltiplo de 3, como a_n-2 es múltiplo de 3^n-2, a_n-1 es múltiplo de 3^n-1

Luego a_n/a_n-1 es múltiplo de 3, como a_n-1 es múltiplo de 3^n-1, a_n es múltiplo de 3ⁿ

---

Nota:

Todos estos cocientes forman la sucesión: 1001001, 1000000001000000001,… Si sumamos sus cifras siempre da 3, por lo que todos ellos son múltiplos de 3.

¿Cuántos 0 hay entre los 1?

• para n=1, hay 3¹-1=2
• para n=2, hay 3²-1=8
• para n, hay 3ⁿ-1