Nueva York nos da la bienvenida al 2022

Hemos empezado un nuevo año, y en las noticias vi como descendía la bola de Times Square de Nueva York para dar la bienvenida al 2022, mientras daban diferentes características de ella como el peso, el diámetro y la iluminación.

El periodista comentaba que estaba formada por 2688 cristales triangulares. Evidentemente no podía ser una esfera y  me pregunté: ¿de qué poliedro se tratará?

Observado la bola, enseguida me fije el patrón que seguía.

Patrón formado por 16 cristales con forma de triángulo equilátero (4×4)

Cuatro triángulos equiláteros pequeños, formaban un triángulo mediano. A su vez, 4 de estos triángulos medianos formaban uno de mayor tamaño que constituía el patrón con el cual se formaban dos tipos de polígonos regulares, hexágonos y pentágonos, los cuales generaban el poliedro.

Rápidamente deduje que se trataba de un poliedro arquimediano (de los cuales ya os hable en una entrada anterior): Un icosaedro truncado.

Un icosaedro truncado está formado por  32 caras: 12 pentágonos y 20 hexágonos. Tiene 90 aristas y 60 vértices. Se obtiene cortando con un plano perpendicular a su eje por el tercio superior de su altura de cada una de las pirámides que lo componen.

Calculemos el número de cristales que la forman.

Hay que tener en cuenta que la bola de Times Square tiene 2 caras menos, ya que han suprimido 2 hexágonos, uno en la parte superior y otro en la inferior, para que la atraviese el mástil por el cual asciende y desciende.

Por lo tanto a la hora de contar los triángulos, consideraremos 12 pentágonos y 18 hexágonos.

Si triangularizamos estos polígonos uniendo el centro de la circunferencia en la que están inscritos (al ser polígonos regulares) con sus vértices, obtenemos 5 triángulos en cada uno de los pentágonos y 6 en cada uno de los hexágonos. Recordemos que cada uno de estos triángulos (patrón) están compuestos por 16 más pequeños.

Pasemos a contabilizarlos:

Número de cristales que conforman todos los pentágonos: 12 x 5 x 16 = 960

Número de cristales que conforman todos los hexágonos: 18 x 6 x 16 = 1728

El total de triángulos que forman la bola de Time Square es 960 + 1728 = 2688, tal y como había escuchado decir al periodista.

Para acabar, deciros que no es de extrañar que tenga forma de bola, pues el icosaedro truncado se considera una esfera geodésica. Si observáis los balones de fútbol siguen ese mismo patrón.

Las matemáticas acompañándonos en Nochevieja. Es más, con el número 2022, tenemos una terna pitagórica: 1050, 1728 y 2022. Os invito a calcular la hipotenusa del triángulo equilátero cuyos catetos miden 1050 y 1728 usando el teorema de Pitágoras para que lo comprobéis.