Media aritmética y media geométrica

En la entrada anterior vimos el volumen del tronco de una pirámide y en su fórmula aparecia la raíz cuadrada del producto de las áreas de las bases mayor y menor.

Ese sumando, no es otra cosa que la media geométrica de las dos bases.

Veamos que es la media geométrica y, otra de las medias que usas con asiduidad, la media aritmética.

En primer lugar veamos cómo se calculan:

La media aritmética de un conjunto de n valores se obtiene sumando los valores y dividiendo el resultado entre n.

Mientras que la media geométrica de un conjunto de n valores se obtiene multiplicando los n valores y elevandolos al inverso del número de valores. La media geométrica se suele usar para calcular el promedio de un conjunto de variaciones porcentuales.

Analicemos la interpretación geométrica de ambas medias.

Para ello consideraremos un conjunto formado por 2 valores: x e y.

Formamos un segmento de longitud x+y y trazamos una semicircunferencia de diametro dicho segmento.

La media aritmética es el radio de dicha circunferencia.

La media geométrica es la altura del triángulo rectángulo inscrito en la semicircunferencia, de modo que la altura divide el diámetro en dos segmentos de longitudes x e y respectivamente.  

PROPIEDADES:

1. Esta interpretación, nos permite deducir la siguiente propiedad: la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica. (Serán iguales si la altura divide al diámetro en dos partes iguales, es decir, si x=y.

2. Además, si x<y se tiene que x < media geométrica < media aritmética < y