Juego de potencias. Números curiosos.

Muchos amantes de las matemáticas buscan curiosidades con los números. Una de ellas es jugar con las potencias.

A continuación te planteo alguno de esos juegos que llevan a números curiosos:

• ¿Existen números que al sumar sus cifras elevadas con la posición que ocupan den ellas mismas?

Si comprobamos el número 23, observamos que 2¹+3² no da 23, sin embargo el número 89 si que cumple que 8¹+9² es 89.

Podéis comprobar que es el único número de dos cifras que cumple esta propiedad.

De 3 cifras está el número 175. Comprobémoslo: 1¹+7²+5³ = 175

Obviamente de una cifra, la cumplen todos ya que a¹=a 

Nota: la primera cifra se eleva a 1, la segunda a 2, la tercera a 3 y así sucesivamente.

• ¿Existen números que al sumar sus cifras elevadas al número de cifras que tiene den ellas mismas?

Si comprobamos el número 23, observamos que 2²+3² no da 23, sin embargo el número 153 si que cumple que 1³+5³+3³ es 153.

Obviamente de una cifra, la cumplen todos ya que a¹=a

Nota: Si el número está compuesto por dos cifras, todas se elevan a 2; si esta formado por tres cifras todas se elevan a 3, etc.

Estos números tienen nombre y se llaman números narcisistas.

• ¿Existen números que al sumar sus cifras elevadas a ellas mismas den el mismo número?

Este caso ya no es tan sencillo de encontrar números que cumplan esta propiedad.

De una cifra solo tenemos el número 1, ya que 1¹=1, pero 2² ya no es 2.

Si comprobamos el número 23, observamos que 2²+3³ no da 23. 

No busquéis más, porque además del 1 sólo existe otro número que cumple esta propiedad. Dicho número es el 3435.

Podéis comprobar que 3³+4⁴+3³+5⁵ es igual a 3435.

Este número se le conoce como número de Munchausen. 

La demostración de que es el único la podeis encontrar en el siguiente enlace. aunque ya os aviso que no corresponde al currículum de secundaria. Demostración

El nombre de Munchausen fue acuñado por el ingeniero de software y matemático holandés Daan van Berkel en 2009.  Inspirándose en la historia de como el barón de Munchausen salió de un pantano en donde había caído agarrándose él mismo sus propios cabellos y tirando hacia arriba con todas sus fuerzas, es decir, se elevó a si mismo.

• Encontrar números que al remplazarlos por la suma de los cuadrados de sus digitos sucesivamente se llegue al número 1.

Si comprobamos el número 23, observamos que 

2²+3²=4+9=13

1²+3²=1+9=10

1²+0²=1+0=1 

hemos llegado al 1

Nota: Los números que no lleguen al 1 entraran en bucle (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20)

Por ejemplo: El número 15

1²+5²=1+25=26

2²+6²=4+36=40

4²+0²=16+0=16

Empieza el bucle:  1²+6²=1+36=37 ; 3²+7²=9+49=58 ; 5²+8²=25+64=89 ; 8²+9²=64+81=145;  1²+4²+5²=1+16+25=42 ;  4²+2²=16+4=20 ;  2²+0²=4+0=4 ;  4²=16.

Los números que llegan al 1 se les conoce como números felices, los que entran en bucle se les llama números infelices o tristes.

Los números que son primos y felices se les llama primos felices como es el caso del número 23.

Nota: hay infinitos números felices, por ejemplo todos los que son potencias de 10, al igual que infelices como son los que resultan de multiplicar por 2 las potencias de 10.