FRACCIONES UNITARIAS

Recordemos la definición de fracción unitaria: Son aquellas cuyo numerador es la unidad y denominador un número entero positivo.

Cualquier numero racional a/b se puede expresar como suma de fracciones unitarias. ¿Cómo podríamos expresarlo?

En primer lugar, recordaremos los conceptos de fracción impropia, fracción propia y número mixto.

• Fracción impropia es aquella en la que el numerador es mayor que el denominador
• Fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador
• Número mixto es un número que está compuesto por una parte entera (número entero positivo) y una fracción propia.

Solo veremos como expresar una fracción propia como suma de fracciones unitarias, ya que en el caso de ser impropia, ésta se expresaría como un número mixto y bastaría con descomponer la parte decimal.

Pero antes, veamos la siguiente propiedad:

«Cualquier fracción unitaria se puede expresar como suma de otras dos fracciones unitarias.»

Demostración:

Supongamos la fracción 1/n

Para demostrarlo, multiplicaremos numerador y denominador por n+1, de modo que:

1/n = (n+1)/n(n+1) = n/n(n+1) + 1/n(n+1) =1/n+1 + 1/n(n+1)

Ejemplo:

1/3= 1/(3+1) + 1/3·(3+1)=1/4+1/12  

A continuación, descompondremos fracciones propias como suma de fracciones unitarias:

• 5/6= (3+2)/6 =3/6+2/6=1/2+1/3*
• 2/3=1/3+1/3=1/3+1/4+1/12
• 6/8=3/4=1/4+1/4=1/4+1/5+1/20

Si la fracción fuera impropia tendríamos que separar la parte entera, como se puede observar en el siguiente ejemplo:

• 17/6=(12+5)/6=12/6+5/6=2+5/6=2+1/2+1/3

La descomposición de una fracción propia en suma de fracciones unitarias NO es única.

Ejemplo:

• 8/10 =1/2+1/4+1/20
• 8/10=1/3+1/5+1/6+1/10

Operaciones elementales con fracciones unitarias:

Solo en el caso de la multiplicación, el producto de fracciones unitarias es unitaria. En el resto de las operaciones, en general no lo son.

• Multiplicación: 1/n·1/m=1/n·m

Veamos ejemplos del resto de las operaciones cuyo resultado es una fracción unitaria.

• Suma: 1/3+1/6=1/2
• Resta: 1/3 – 1/6=1/6
• División: 1/6:1/2=1/3. En el cociente, da una fracción unitaria, si el denominador de la primera fracción es múltiplo del denominador de la segunda, es decir, 1/np:1/p=1/n

Para terminar, veremos un algoritmo que nos permite obtener una fracción propia como suma de fracciones unitarias.

Este algoritmo es el algoritmo voraz de James Joseph Sylvester que dice:

Sea a/b una fracción propia, el algoritmo que permite expresarla como una fracción egipcia consiste en:

1. Dividir b/a. coger la fracción unitaria que tiene como denominador el resultado de la división más una unidad
2. Restar a la fracción b/a la fracción unitaria obtenida en el primer paso.
3. Aplicar de nuevo el paso 1 con la fracción obtenida en el paso 2 hasta obtener una fracción unitaria.

El resultado es la suma de todas las fracciones unitarias obtenidas en el algoritmo.

Apliquémoslo a un ejemplo:

Consideramos la fracción 8/10.

Paso 1: 10/8 tiene por cociente 1, luego cogemos la fracción unitaria 1/(1+1) = 1/2

Paso 2: Realizamos la resta: 8/10 – 1/2=3/10

Paso 3: dividimos 10/3, cuyo cociente es 3. Luego consideramos la fracción unitaria 1/4

Paso 4: restamos 3/10 – 1/4= 1/20 como la fracción obtenida es unitaria ya hemos terminado.

Y el resultado es 8/10 = 1/2 + 1/4 + 1/20

Ahora te toca a ti:

Ejercicio: Expresa como fracción egipcia, la fracción 19/20 con este algoritmo.

Como os he comentado antes la solución no es única. 19/20 podríamos expresarlo también de la siguiente manera:

19/20= (10+5+4) /20=10/20 + 5/20 + 4/20 = 1/2 + 1/4 + 1/5*

Esta forma se obtiene, en el caso de poderse, expresando el numerador como suma de divisores del denominador*.

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