Elisa y el problema isoperimétrico

Elisa, según cuenta la leyenda, fue una princesa fenicia que huyó de su ciudad por desavenencias con su hermano Pigmalión tras la muerte de su padre. Acompañada de su ejército, el fin de su huida acabó en el norte de África. Allí le pidió al monarca del lugar un trozo de tierra para fundar una ciudad. El rey le dio una piel de toro y le dijo que su ciudad ocuparía el terreno que abarcara con esa piel. Fue entonces cuando ordenó cortar la piel de toro en finas tiras y unirlas de manera que obtuvo una larga cuerda. Con ella rodeó una porción del territorio con salida al mar en la que fundó la ciudad de Cartago.

Pero, ¿cómo obtener la región de tierra con la mayor superficie? Ahí nace el problema que vamos a tratar hoy: El problema isoperimétrico.

El problema isoperimétrico clásico data de la antigüedad​. El problema se puede enunciar como sigue:

«Entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de la región que encierra?»

Nota: Isoperimetría significa literalmente «con un perímetro igual». En matemática, la isoperimetría es el estudio general de las figuras geométricas que tienen contornos iguales.

Ejemplo:

Si el perímetro mide 12 cm, ¿Qué figura de entre un triángulo equilátero, un cuadrado y una circunferencia tiene mayor área?

Solución:

• Si se trata de un triángulo equilátero, tenemos que el lado del triángulo mide 4cm. Utilizando el teorema de Pitágoras calcularíamos su altura y nos daría 2 cm. Luego el área sería 4  cm².

• Si se trata de un cuadrado, tenemos que el lado mide 3 cm y su área 9 cm².
• Por último, si se trata de una circunferencia, utilizando la fórmula de la longitud de la circunferencia tendríamos que el radio valdría 6/π cm.

Al calcular el área, está daría 36/π cm²

Si comparamos los tres resultados tenemos que:  4  <  9  <  36/π

Luego en este caso, sin duda alguna, la mejor opción que podía haber elegido Elisa para fundar Cartago hubiera sido la circunferencia.