El tablero de Galton

En 2º de bachillerato, tenemos el tema “Distribuciones de probabilidad” en el que se trabaja la distribución binomial y la distribución normal, la primera de ellas para variables discretas y la segunda para variables contínuas.

Para ciertos valores de n y p, siendo n el número de veces que se realiza el experimento y p la probabilidad de éxito se ve que existe entre la distribución binomial y la normal una extraordinaria similitud. Esta similitud es mayor a medida que es mayor el producto np., es más en el caso de que np>3 y n(1 – p) =nq>3 la aproximación es bastante buena y si superan a 5, la aproximación es casi perfecta.

Es decir que en estos casos, B(n,p) N(μ,σ) siendo la media μ = np y la desviación típica σ=.

Esta aproximación de la distribución binomial a la normal se demostró en el teorema de De Moivre – Laplace en el que se realiza n ensayos independientes con n suficientemente grande si asumiendo que p no es ni 1 ni 0.

Es importante saber que la curva de la distribución normal es continua y simétrica y que se la conoce como campana de Gauss en honor a quién la describió que fue el matemático alemán Carl Friedrich Gauss.

Tras esta pequeña introducción, pasaremos a hablar un aparato inventado por Francis Galton y que se le conoce como tablero de Galton que pretende demostrar el teorema de manera visual.

El dispositivo consiste en un tablero vertical con filas de clavos intercalados y unas guías en la parte inferior. En la parte superior se colocan cuentas (bolitas) que se dejan caer y, cuando el dispositivo está nivelado, las cuentas rebotan hacia la izquierda o hacia la derecha al tropezar con los clavos. Como resultado, las bolitas caen en los contenedores delimitados por las guías de la parte inferior, creándose columnas de cuentas acumuladas cuya altura se aproxima a una curva de campana.

Tablero de Galton antes y después de girarlo:

Autor de las imágenes de esta entrada: De Matemateca (IME USP) / (name of the photographer), CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=59268653