Juego de potencias. Números curiosos.

Matemáticas
5 de abril de 2019

Muchos amantes de las matemáticas buscan curiosidades con los números. Una de ellas es jugar con las potencias.

A continuación te planteo alguno de esos juegos que llevan a números curiosos:

  • ¿Existen números que al sumar sus cifras elevadas con la posición que ocupan den ellas mismas?

Si comprobamos el número 23, observamos que 21+32 no da 23, sin embargo el número 89 si que cumple que 81+9es 89.

Podéis comprobar que es el único número de dos cifras que cumple esta propiedad.

De 3 cifras está el número 175. Comprobémoslo: 11+72+53 = 175

Obviamente de una cifra, la cumplen todos ya que a1=a 

Nota: la primera cifra se eleva a 1, la segunda a 2, la tercera a 3 y así sucesivamente.

  • ¿Existen números que al sumar sus cifras elevadas al número de cifras que tiene den ellas mismas?

Si comprobamos el número 23, observamos que 22+32 no da 23, sin embargo el número 153 si que cumple que 13+53+33 es 153.

Obviamente de una cifra, la cumplen todos ya que a1=a

Nota: Si el número está compuesto por dos cifras, todas se elevan a 2; si esta formado por tres cifras todas se elevan a 3, etc.

Estos números tienen nombre y se llaman números narcisistas.

  • ¿Existen números que al sumar sus cifras elevadas a ellas mismas den el mismo número?

Este caso ya no es tan sencillo de encontrar números que cumplan esta propiedad.

De una cifra solo tenemos el número 1, ya que 11=1, pero 22 ya no es 2.

Si comprobamos el número 23, observamos que 22+33 no da 23. 

No busquéis más, porque además del 1 sólo existe otro número que cumple esta propiedad. Dicho número es el 3435.

Podéis comprobar que 33+44+33+55 es igual a 3435.

Este número se le conoce como número de Munchausen

La demostración de que es el único la podeis encontrar en el siguiente enlace. aunque ya os aviso que no corresponde al currículum de secundaria. Demostración

El nombre de Munchausen fue acuñado por el ingeniero de software y matemático holandés Daan van Berkel en 2009.  Inspirándose en la historia de como el barón de Munchausen salió de un pantano en donde había caído agarrándose él mismo sus propios cabellos y tirando hacia arriba con todas sus fuerzas, es decir, se elevó a si mismo.

  • Encontrar números que al remplazarlos por la suma de los cuadrados de sus digitos sucesivamente se llegue al número 1.

Si comprobamos el número 23, observamos que 

22+32=4+9=13

12+32=1+9=10

12+02=1+0=1 

hemos llegado al 1

Nota: Los números que no lleguen al 1 entraran en bucle (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20)

Por ejemplo: El número 15

12+52=1+25=26

22+62=4+36=40

42+02=16+0=16

Empieza el bucle:  12+62=1+36=37 ; 32+72=9+49=58 ; 52+82=25+64=89 ; 82+92=64+81=145;  12+42+52=1+16+25=42 ;  42+22=16+4=20 ;  22+02=4+0=4 ;  42=16.

Los números que llegan al 1 se les conoce como números felices, los que entran en bucle se les llama números infelices o tristes.

Los números que son primos y felices se les llama primos felices como es el caso del número 23.

Nota: hay infinitos números felices, por ejemplo todos los que son potencias de 10, al igual que infelices como son los que resultan de multiplicar por 2 las potencias de 10.

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