Reducción al absurdo e Inducción matemática

En este apartado voy a hablaros de dos tipos muy diferentes que se utilizan para realizar demostraciones matemáticas.

En 3 ESO, a estas alturas del curso hemos visto ya los números reales y estamos estudiando el tema de progresiones. 

Pues bien vamos a utilizar estos metodos para demostrar dos conceptos que acabamos de ver.

En primer lugar vamos a demostrar que  es un número irracional y a continuación que la suma de n primeros números naturales es .

MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO

Para demostrar que   es un número irracional usaremos el método de reducción al absurdo.

Este método consiste suponiendo lo contrario y llegando a un resultado contradictorio.

Así pues, supongamos que  es un número racional, es decir, se puede expresar en forma de fracción

 con a y b primos entre si (fracción irreducible)

Si elevamos ambos miembros de la igualdad al cuadrado, se obtendría:

Si pasamos el denominador al otro miembro multiplicando tendríamos que

lo que querría decir que a es múltiplo de 2, así que podríamos expresarlo como a=2m

sustituyendo,

es decir 

Simplificando 

lo que querría decir que b es múltiplo de 2.

Así que hemos llegado a la conclusión que a y b son múltiplos de 2, lo que contradice que eran primos entre si. Por tanto lo que hemos supuesto es falso y  no es un número racional, lo que demuestra que es irracional.

MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Para demostrar que la suma de n primeros números naturales es  vamos a utilizar el método de inducción matemática. 

Este método consiste en demostrar una propiedad que depende de los números naturales ().

Si esta propiedad se cumple para n=1 y se supone cierta para n, tenemos que demostrar que se cumple para n+1

Veamos la suma de los n primeros números naturales.

para n=1 se cumple que 

para n se cumple que 1+2+3+4+5+….+n=

Veamos si es cierto para n+1

es decir si 1+2+3+4+5+….+n+ (n+1) =

Demostrémoslo:

1+2+3+4+5+….+n+ (n+1) =+(n+1)=

= 

que es lo que queríamos demostrar.

Así pues ya conoces dos nuevos métodos para demostrar proposiciones matemáticas.