Diofanto de Alejandría, más que un epitafio.

Diofanto de Alejandría fue un matemático griego considerado el padre del álgebra.

De él se sabe con certeza la edad en la que murió por el epitafio en su lápida que hemos trabajado en la ESO como situación de aprendizaje y también en el trabajo sobre el libro “el hombre que calculaba” de Malba Tahan. Aprovecho la ocasión, ahora que se acerca el día del libro, para que os lo regalen o lo regaléis y podáis leerlo si aún lo habéis hecho.

Recordemos que decía su epitafio:

Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! la duración de su vida. Su niñez utilizó la sexta parte de su vida; Después, durante la doceava parte, de vello se cubrieron sus mejillas. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de la vida de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.

Si planteáis la ecuación y la resolvéis obtendréis que falleció a los 84 años de edad.

Su obra emblemática fue un tratado de 13 libros, del cual solo han llegado a nosotros los seis primeros, llamados Aritmética .

En honor a él, las ecuaciones con coeficientes enteros cuyas soluciones también son enteras se llaman ecuaciones diofánticas.

Veamos algunos ejemplos de estas ecuaciones:

• Ecuaciones lineales

Ejemplo:  2x + 3y = 12.

Una solución es x₁ = 0, y₁ = 4.

Esta ecuación tiene infinitas soluciones que se pueden expresar como:

Como mcd(2,3) = 6, tenemos que x = 0 + t·(3/6) ; y = 4 – t·(2/6) siendo t cualquier número entero.

Nota: Es imprescindible que en las ecuaciones de la forma ax+by=c, c sea divisible entre el mcd (a,b)

Las soluciones de esta ecuación son:

Si obtenemos una solución particular x ₁ , y ₁ las demás se obtienen con las siguientes expresiones:

x = x₁ + t·[b / mcd(a,b)]

y = y₁ – t·[a / mcd(a,b)]

siendo t cualquier número real.

• Ecuaciones cuadráticas

Ejemplo 1: x ²  – y ² = 16

Aplicamos el producto notable (x + y)·(x – y) = 16 si factorizamos 16 = 8·2,tenemos que x + y = 8 ; x – y = 2. Resolviendo el sistema entonces obtiene que x = 5; y = 3

Ejemplo 2: x ² +y ² = z ² . Esta ecuación nos recuerda al teorema de Pitágoras, luego cualquier terna pitagórica sería solución de esta ecuación.

• Ecuaciones cúbicas

Ejemplo: x ³ + y ³ = 1729

Esta ecuación fue resuelta por Ramanujan y ya os hablé de ella hace unos años en la entrada “1729” la cual tenía 4 posibles soluciones (1,12); (12,1); (9,10) y (10,9).

Ahora es el momento que investiga un poco más por tu cuenta. ¿Te animas?