El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Antes de que Lagrange demostrara este teorema en 1770, era conocido como la conjetura de Bachet.

Al igual que la entrada anterior, mi curiosidad sobre este teorema me llegó a través de las redes sociales, cuando me felicitaron el año de está forma:

Feliz 1 ² +10 ² +25 ² +36 ²

El teorema decía que cualquier número natural se podía expresar como suma de cuatro (o menos) números cuadrados. Si queremos expresarlo como suma de 4 cuadrados exactamente, basta con añadir 0.

Por ejemplo:

1 =  1 ² +0 ² +0 ² +0 ²

2 =  1 ² +1  ² +0 ² +0 ²

30 = 1 ² +2 ² +3  ² +4 ² =  1 ² +2 ² +0 ² +5  ²

2022 =  1 ² +10 ² +25 ² +36 ²

Este teorema es el caso particular par n = 4 (números cuadrados) del teorema que enunció Fermat en 1638 que decía que todo número natural puede ser escrito como suma de n o menos números n-gonales. (Teorema del número poligonal )

Gauss lo demostró para n = 3 (números triangulares) en 1796: Todo  número natural se podía expresar como suma de tres (o menos) números triangulares.

Por ejemplo: 2022 = 2016 + 6 donde 2016 es el 63º número triangular y 6 el 3º. 

Nota: para obtener los números triangulares debes utilizar la fórmula de la suma de los primeros términos naturales (progresiones artiméticas). Así pues, el término genral para calcular los números triángulares es: T _n  = (n ²+ n) / 2

Y la demostración general del teorema que enunció Fermat fue demostrado en 1813 por Cauchy.