ACCÉS+25-MATEMÀTIQUES

PROVA D’ACCÉS PER A MAJORS DE 25 ANYS

MATEMÀTIQUES

PROGRAMA

 

BLOC I

1.- Polinomis i sistemes d’equacions.

Operacions elementals amb polinomis (suma, resta, multiplicació i divisió). Regla de Ruffini. Resolució d’equacions polinòmiques de grau menor o igual a tres. Resolució de sistemes d’equacions lineals 2×2 i 3×3. Plantejament de problemes senzills resolubles amb sistemes d’equacions lineals.

2.- Matrius i determinants.

Concepte de matriu. Suma i producte de matrius. Càlcul de determinants de matrius 2×2 i 3×3.

3.- Logaritmes.

Logaritmes decimals i neperians. Logaritme d’un producte, d’un quocient i d’una potència (inclòs el cas d’una arrel).

 

BLOC II

4.- Geometria analítica en el pla.

Equacions de la recta en el pla. Posicions relatives (incidència i paral·lelisme). Distància entre dos punts i distància d’un punt a una recta.

5.- Trigonometria.

Raons trigonomètriques d’un angle agut. Resolució de triangles rectangles.

 

BLOC III

6.- Funcions.

El concepte de funció. Domini i rang. Representació de les funcions elementals (Les funcions polinòmiques de grau menor o igual a tres, les funcions circulars sinus, cosinus i tangent, la funció exponencial a x i les funcions logarítmiques log x i ln x).

7.- Límits.

La noció de límit. Infinitèsims i infinits. Càlcul de límits de quocients de polinomis (quan x tendeix cap a a i quan x tendeix a infinit).

8.- Continuïtat i derivació.

El concepte de funció contínua. Derivada i la seva interpretació geomètrica. Càlcul de la derivada d’una suma, resta, producte i quocient de funcions. Derivada de la composició de dues funcions: Regla de la cadena. Càlcul de derivades de funcions elementals (polinòmiques, racionals, circulars – sinus, cosinus i tangent -, exponencials i logarítmiques).

 

BLOC IV

  1. Aplicacions de les derivades.

Obtenció del creixement i decreixement d’una funció i de la seva representació gràfica. Extrems relatius. Problemes elementals de màxims i mínims.

  1. Càlcul integral.

La noció de primitiva. Primitives de funcions polinòmiques. Obtenció d’àrees mitjançant integrals definides del tipus 

 

BLOC V

  1. Nocions elementals d’estadística i probabilitat.

Mitjana, rang i desviació típica d’una mostra: Significat i càlcul. Nocions elementals de combinatòria. Aplicació al càlcul de probabilitats.

 

TIPUS D’EXAMEN

La prova tindrà una durada d’una hora, es proposaran cinc problemes, un de cada bloc, dels quals l’alumne triarà quatre, cadascun dels quals puntuarà sobre 2,5 punts.

Es permetrà la utilització de qualsevol tipus de calculadora, però està prohibit emmagatzemar en memòria informació sobre els temes i utilitzar mitjans de comunicació a distància.

 

MATERIALS COMPLEMENTARIS

Com a complement al temari es detallen a continuació els tipus d’exercicis en els que convé posar l’accent. Aquests exercicis, segons la seva dificultat, compondran bé tot un problema, bé un apartat d’un problema de l’examen.

  1. Sumar, restar i multiplicar polinomis d’una variable
  2. Dividir, de la forma tradicional, dos polinomis explicitant quocient i resta.
  3. Dividir un polinomi per (x-a) usant la regla de Ruffini. Relacionar la resta amb el valor del polinomi quan x = a.
  4. Calcular les arrels d’una equació polinòmica de grau dos per la fórmula tradicional i d’una de grau 3 usant la regla de Ruffini.
  5. Resoldre un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites (es pot fer servir tant el mètode de reducció com el d’igualació com el de substitució)
  6. Resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites en el qual una de les equacions no sigui lineal i que condueixi a una equació de segon o tercer grau senzilla.
  7. Resoldre un sistema de tres equacions lineals i tres incògnites utilitzant el mètode de reducció.
  8. Resoldre un problema senzill que suposi el plantejament d’un sistema dels esmentats en els tres apartats anteriors.
  9. Realitzar una operació amb matrius que suposi sumar, restar, multiplicar per un escalar, multiplicar entre elles, tenint com a molt tres files o columnes.
  10. Calcular determinants de matrius 2×2 i 3×3.
  11. Calcular el logaritme d’un nombre coneixent el valor del logaritme d’un altre.
  12. Desenvolupar el logaritme d’una expressió en la qual apareguin productes, quocients, potències i arrels.
  13. Saber obtenir l’equació vectorial, les equacions paramètriques, l’equació contínua, l’equació explícita i l’equació general d’una recta ben coneixent dos punts pels quals passa bé coneixent un punt i el seu vector director.
  14. Saber obtenir l’equació d’una recta coneixent un punt pel qual passi i el valor del seu pendent.
  15. Saber obtenir el valor del pendent d’una recta coneixent qualsevol de les equacions citades en 13.
  16. Donada una recta obtenir rectes paral·leles a la mateixa des d’un punt exterior, o perpendiculars des d’un punt qualsevol.
  17. Relacionar la solució d’un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites amb la seva incidència o paral·lelisme.
  18. Trobar la distància entre dos punts del pla.
  19. Calcular la distància d’un punt a una recta, sigui amb una fórmula ben deduint aquesta.
  20. Conèixer les definicions del sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant i cotangent d’un angle agut en un triangle rectangle.
  21. Saber els valors del sinus, cosinus i tangent dels angles de 0, 30, 45, 60 i 90 graus sexagesimals.
  22. Saber passar de graus sexagesimals a radians i viceversa.
  23. Donat un triangle rectangle en el qual es desconegui algun element (costats o angles) obtenir-lo a partir dels quals es conegui.
  24. Conèixer i aplicar el teorema de Pitàgores.
  25. En un triangle qualsevol obtenir l’altura sobre un costat.
  26. Resoldre un problema senzill la modelació sigui un triangle rectangle del qual element incògnita sigui el que es vol trobar.
  27. Trobar el camp d’existència de fórmules senzilles (quocient de polinomis, arrels de polinomis de grau un o dos com a màxim i logaritmes)
  28. Saber si un nombre està o no en el rang d’una funció.
  29. Conèixer la representació gràfica de les funcions polinòmiques de grau menor o igual a tres.
  30. Conèixer la representació gràfica de les funcions sinus, cosinus i tangent.
  31. Conèixer la representació gràfica de la funció exponencial a x.
  32. Conèixer la representació gràfica de la funció logarítmica tant decimal com neperià.
  33. Conèixer els zeros de les funcions anteriors (punts on talla l’eix d’abscisses) i els punts on talla l’eix d’ordenades.
  34. Entendre la noció intuïtiva del límit d’una funció en un punt.
  35. Saber calcular límits que no plantegin dificultats (que no presentin indeterminacions) per mera substitució.
  36. Conèixer si una funció és un infinitèsim (si el seu límit és zero).
  37. Conèixer si una funció és un infinit (si el seu límit és infinit).
  38. Conèixer els infinitèsims equivalents a sin x, 1-cos x, a x -1, tg x, ln (1 + x) quan x tendeix a zero.
  39. Usar els infinitèsims equivalents per a calcular límits.
  40. Calcular límits de quocients de polinomis quan la variable tendeix a infinit usant, per exemple, el mètode de dividir per x elevat a la major potència amb la que figure.
  41. Calcular límits del quocient de dos polinomis quan x tendeix a un nombre de manera que aparegui la indeterminació zero partit per zero. Es suggereix fer servir la regla de Ruffini.
  42. Trobar límits laterals de funcions definides a trossos (els trossos seran funcions senzilles de les treballades anteriorment).
  43. Conèixer el concepte de funció contínua en un punt (aquella el límit en aquest punt existeixi i coincideixi amb el valor de la funció en el punt).
  44. Conèixer la interpretació geomètrica del concepte de funció contínua en un punt.
  45. Conèixer si una funció de les definides en 47 són contínues.
  46. ​​Saber la definició de derivada d’una funció en un punt.
  47. Conèixer la interpretació geomètrica de la derivada d’una funció en un punt.
  48. Utilitza la interpretació geomètrica de la derivada per calcular la recta tangent a una corba en un punt donat.
  49. Saber trobar els punts on la tangent a una corba en un punt és horitzontal.
  50. Conèixer les fórmules de la derivada de la suma, resta, producte i quocient de funcions.
  51. Conèixer les derivades de les funcions elementals (potencials, exponencials, circulares- si, cosinus, tangent -, logarítmiques)
  52. Saber com es componen funcions i que la composició no és commutativa en general.
  53. Conèixer la Regla de la Cadena per calcular la derivada de la funció composta de dues funcions derivables.
  54. Conèixer la derivació logarítmica per calcular la derivada d’una funció elevada a una altra.
  55. Simplificar les expressions que s’obtinguin després d’una derivació.
  56. Obtenir els intervals de creixement i decreixement d’una funció usant la primera derivada de la mateixa.
  57. Calcular els màxims i mínims d’una funció senzilla. Es pot fer amb la primera derivada només usant que la funció passa de creixent a decreixent en els màxims i de decreixent a creixent en els mínims o mitjançant l’ús de la segona o posterior derivades.
  58. Resoldre problemes elementals la modelació suposi el càlcul del màxim o el mínim d’una funció senzilla.
  59. Conèixer el concepte de primitiva d’una funció en un interval.
  60. Calcular la primitiva de qualsevol funció polinòmica.
  61. Calcular l’àrea tancada entre una funció polinòmica, l’eix d’abscisses i dues rectes verticals usant la integral de la funció. Insistir en que la funció pot no estar tota per sobre o per sota de l’eix d’abscisses en aquest interval.
  62. Calcular, donada una mostra estadística, la seva mitjana i la seva desviació típica i saber interpretar el seu resultat.
  63. Conèixer el concepte de variacions, combinacions i permutacions sense repetició. Resoldre problemes elementals utilitzant aquests conceptes.
  64. Conèixer els nombres combinatoris, saber calcular-tant directament com amb el triangle de Tartaglia i aplicar-lo al binomi de Newton.
  65. Conèixer el concepte bàsic de probabilitat d’un succés. Utilitza la combinatòria per calcular probabilitats de successos senzills.